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LOS MANIPULABLES EN LA ENSEÑANZA
DE LAS MATEMÁTICAS
Mediante el método mecánico
logré entender ciertos resultados,
aunque posteriormente tuviesen que ser demostrados geométricamente
ya que la investigación mediante el método mecánico
no proveía las demostraciones.
Pero es mucho más fácil poder dar una demostración
de una situación,
después de haberla comprendido mediante el mencionado método
que intentar demostrarla sin ningún conocimiento previo.
Arquímedes
Inventor, Físico y Matemático Griego (287-212 a.C.)
Bajo la denominación de Manipulables se agrupan una serie de
ayudas tanto físicas como virtuales que facilitan el aprendizaje.
Un Manipulable para matemáticas puede entrar
en dos categorías:
1) Físicos, que se definen
como cualquier material u objeto físico del mundo real que los
estudiantes pueden “palpar” para ver y experimentar conceptos
matemáticos. Los instrumentos de este tipo se utilizan principalmente
con los estudiantes de los primeros grados escolares y ejemplos de ellos
son: Formas Geométricas para el reconocimiento de las
distintas figuras; Bloques de Patrones para estimar, medir,
registrar, comparar; Bloques y Cubos para sumar, restar o resolver
problemas que incluyen peso.
2) Virtuales, que se definen como
representaciones digitales de la realidad posibilitadas por los computadores,
y que el estudiante puede también manipular con el mismo objetivo
de los primeros. Estos últimos se utilizan en los grados superiores.
La experta Judy Spicer ha dicho: “Los manipulables virtuales
tienen además la capacidad de hacer visible lo que es difícil
de ver e imposible de imaginar” [1]. Ejemplos de éstos
son: Simulaciones; Software de Visualización; Fractales;
Robótica; Juegos de Computador; Representaciones Tridimensionales;
etc.
USO DE MANIPULABLES VIRTUALES
Los manipulables bien diseñados y bien utilizados (físicos
o virtuales) ayudan a los estudiantes a construir, fortalecer y conectar
varias representaciones de ideas matemáticas al tiempo que aumentan
la variedad de problemas sobre los que pueden pensar y resolver.
Asimismo, los Manipulables ofrecen a los estudiantes
objetos para reflexionar y hablar. Les suministran un lenguaje adicional
para comunicar ideas matemáticas sobre sus percepciones visuales,
táctiles y espaciales.
Investigaciones adelantadas en Inglaterra, Japón,
China y Estados Unidos soportan esta idea [2]. En estas se enfatiza
especialmente la ayuda que ofrecen a los estudiantes para pasar del
nivel concreto al abstracto e incrementar su capacidad para adquirir
habilidades y conceptos al ofrecer una representación física,
tangible, móvil, armable y desarmable, que permite visualizar
conceptos matemáticos de manera concreta. Dice también
la investigación que los niños pasan por tres estadios
de desarrollo: el concreto o de manipulación, el representativo
o de transición y el abstracto. Muchos estudiantes tienen gran
dificultad para hacer esta transición, posiblemente porque su
sentido numérico es débil. “Piaget encontró
que la mayoría de los niños no alcanzan el nivel abstracto
sino a la edad de 12 o 14 años. Para respaldar el avance de la
etapa de transición a la abstracta, es necesario ofrecer a los
estudiantes materiales y actividades apropiadas para lograrlo y en el
caso de las matemáticas, éste papel lo asumen los manipulables.
Además, se encontró que los estudiantes que aprenden matemáticas
con este tipo de modelos entienden mejor, desarrollan mejores habilidades
para la solución de problemas y tienen un mejor desempeño
en las pruebas estandarizadas de competencia” [3].
Los resultados más interesantes encontrados
por las investigaciones sobre cómo la tecnología puede
mejorar el aprendizaje, se enfocan en manipulables virtuales que ayudan
a los estudiantes a entender conceptos esenciales en áreas como
matemáticas o ciencias mediante la representación de temas,
en forma más sencilla. Las investigaciones han demostrado que
la tecnología puede impulsar profundos cambios en lo que aprenden
los estudiantes. Utilizando la capacidad del computador para posibilitar
simulaciones, enlaces dinámicos e interactividad, el estudiante
regular puede alcanzar un dominio extraordinario de conceptos sofisticados.
Algunos de estos manipulables (Visualizaciones, Modelos y Simulaciones)
han probado ser herramientas poderosas para enseñar conceptos
matemáticos y científicos.
Por ejemplo, la tecnología que utiliza diagramas
dinámicos (esto es, imágenes que pueden moverse en respuesta
a un rango de comandos u órdenes) puede ayudar a que los estudiantes
visualicen y entiendan las fuerzas que subyacen en varios fenómenos.
El estímulo a los estudiantes para buscar el sentido de las simulaciones
que modelan fenómenos físicos, pero que desafían
las explicaciones intuitivas, ha demostrado ser también una técnica
útil. Ejemplo de esto son simulaciones que permiten visualizar
conceptos cómo velocidad y aceleración.
Buscando técnicas que incrementen la matemática
que pueden aprender los estudiantes, los investigadores han encontrado
que desplazarse de las expresiones matemáticas que se formulan
con lápiz y papel (tales como símbolos algebraicos) a
las que se plantean en la pantalla (que incluyen no solamente símbolos
algebraicos, sino también gráficas, tablas y figuras geométricas)
puede tener un efecto positivo dramático.
En lugar de usar lápiz y papel con los que
solamente se representan expresiones matemáticas estáticas
y aisladas, que se usan por lo general para realizar cálculos,
los maestros de matemáticas están dirigiendo cada vez
más sus esfuerzos a facilitar que el estudiante comprenda y adquiera
conceptos en lugar de dedicarse únicamente a realizar procedimientos
mecánicos. La utilización de computadores que posibilita
el uso de manipulables virtuales ofrece para éste último
objetivo varias ventajas
Beneficios Pedagógicos Prácticos:
Son más reales que
los ejercicios escritos o las descripciones de fenómenos.
Priorizan el proceso de pensamiento
del estudiante a medida que éste construye conocimiento matemático.
Posibilitan mediante retroalimentación
el establecimiento de vínculos entre lo concreto y lo simbólico.
El estudiante puede diseñar objetos, moverlos y modificarlos,
y expresar esas acciones en números o palabras.
Promueven y facilitan explicaciones
completas y precisas ya que el estudiante debe especificarle al computador,
con precisión, lo que debe hacer para obtener resultados concretos.
Se pueden crear, por ejemplo,
tantas copias de una forma geométrica como sea necesario, y
usar herramientas del computador para mover, combinar y duplicar estas
formas para hacer figuras, diseños y solucionar problemas.
Los productos realizados pueden
guardarse y recuperarse a voluntad, sin tener que “perder”
todo el trabajo que se ha realizado, permitiendo además, trabajarlo
una y otra vez.
Se pueden diferenciar las
diversas formas de varias maneras (colores, fondos, etc).
Estas aplicaciones son más
limpias, manejables y flexibles; siempre están en la posición
correcta y se quedan donde se colocan, se pueden “congelar”
en la posición deseada.
Son una manera mucho más
motivadora que trabajar con lápiz y papel.
Muchas construcciones son
más fáciles de construir que con elementos físicos.
Ofrecen la posibilidad de
guardar y recuperar una serie de acciones realizadas con anterioridad
por el estudiante pero que pueden trabajarse más. Se pueden
recuperar secuencias de acciones.
Permiten obtener un registro
del trabajo con mucha facilidad. Se puede imprimir.
Beneficios Matemáticos:
Hacer conscientes ideas
y procesos matemáticos en los estudiantes.
Permitir a los estudiantes
razonar mientras manipulan en el computador gráficas o figuras
dinámicas y las expresiones matemáticas relacionadas
con éstas.
Explorar, gracias a la
flexibilidad de los manipulables, las figuras geométricas de
maneras que no son posibles con figuras físicas (cambios en
forma o tamaño, cambios generales o particulares, etc).
Facilitar la exploración
rápida de los cambios en las expresiones matemáticas
con el simple movimiento del ratón, en contraposición
de lo que sucede cuando se utiliza lápiz y papel.
Visualizar los efectos
que tiene en una expresión matemática, modificar otra.
Por ejemplo, cambiar el valor de un parámetro de una ecuación
y ver cómo la gráfica resultante cambia de forma.
Acelerar la exposición
a un gran número de problemas y ofrecer retroalimentación
inmediata.
Relacionar con facilidad
símbolos matemáticos, ya sea con datos del mundo real
o con simulaciones de fenómenos corrientes, lo que le da significado
a las matemáticas.
Obtener retroalimentación
inmediata cuando los estudiantes generan expresiones matemáticas
incorrectas.
Realizar procesos de
composición y descomposición de formas (realizar unidades
compuestas, descomponer un hexágono en otras formas cómo
triángulos, etc).
Conectar el aprendizaje
Geométrico/Espacial al aprendizaje numérico, relacionando
dinámicamente ideas y procesos numéricos con las ideas
de los estudiantes sobre formas y espacio.
Permitir que se detenga
la aplicación en cualquier momento del proceso si se requiere
tiempo para pensar sobre éste. Además, puede repetirse
si se desea ver nuevamente parte de esta o ensayar otras respuestas.
TIPOS DE MANIPULABLES VIRTUALES
Los siguientes son algunos ejemplos de Manipulables Virtuales.
SIMULACIONES: Una de las formas
más efectivas y fáciles de integrar las TICs en las materias
del currículo es mediante el uso de simulaciones. Muchas de estas
se encuentran disponibles en Internet para propósitos educativos,
en la mayoría de los casos sin costo. Algunas son interactivas,
es decir, que permiten al estudiante modificar algún parámetro
y observar en la pantalla el efecto producido por dicho cambio. Otras
posibilitan además configurar el entorno, esto es, que los educadores
pueden programarlas para que aparezcan distintos elementos y diferentes
tipos de interacciones. Una de las cualidades que poseen las Simulaciones
es el alto grado de motivación que despiertan en los estudiantes
y poder llegar a resultados a través de un proceso de ensayo y
error (orientado por el profesor). Este proceso les permite descubrir
conceptos matemáticos e ir construyendo un puente entre las ideas
intuitivas y los conceptos formales. En EDUTEKA ofrecemos varios Módulos
de simulaciones para Matemáticas, Física y Estadística,
presentadas en módulos listos para descargar, que pueden utilizarse
para cubrir contenidos específicos, facilitando de esta manera
su integración a las estrategias didácticas usadas por el
educador (http://www.eduteka.org/instalables.php3).
También se ofrece una reseña de sitios que ofrecen excelentes
simulaciones.
SOFTWARE DE VISUALIZACIÓN:
La visualización juega un papel muy importante en la enseñanza
de las Matemáticas y su mayor impacto se logra cuando los estudiantes
logran visualizar un concepto o problema. “Visualizar un problema
significa entenderlo en términos de un diagrama o de una imagen
visual. La visualización en matemáticas es un proceso en
el que se forman imágenes mentales con lápiz y papel, o
con la ayuda de tecnología, y se utiliza con efectividad para el
descubrimiento y comprensión de nociones matemáticas”
[4].
Dos áreas de la Matemática en las cuales este tipo de Manipulables
hace grandes aportes son el álgebra y la geometría. El Álgebra
es un medio de representación en el cual se trasladan relaciones
cuantitativas a ecuaciones o gráficas. El uso de software o de
calculadoras para graficar funciones ayuda a los estudiantes a ver las
ecuaciones y sus soluciones con una nueva perspectiva, más allá
de su solución algorítmica (abstracta). Por ejemplo, los
modelos interactivos que ofrece ExploreMath (http://www.exploremath.com/activities/index.cfm)
posibilitan al estudiante visualizar y manipular diversas variables para
resolver problemas relacionados con el plano cartesiano, funciones (lineales,
cuadráticas y polinomiales), desigualdades, valor absoluto, etc.
La función gráfica de la Hoja de Cálculo permite
a los estudiantes resolver igualdades y desigualdades favoreciendo la
comprensión de los conceptos mediante la observación gráfica
de resultados numéricos (ver http://eduteka.org/HojaCalculo1.php).
En Geometría, programas como Cabri Géomètre
(http://www-cabri.imag.fr/index-e.html)
o Geometer's Sketchpad (http://www.keypress.com/sketchpad/)
generan una nueva forma de realidad virtual asociada a los objetos conceptuales
de las Matemáticas y además los traen a la pantalla en donde
los estudiantes pueden manipularlos libremente. Esta manipulación
del entorno geométrico permite al estudiante ampliar su experiencia
en esta disciplina y validar enunciados matemáticos, algo que es
muy difícil de lograr sin la mediación de este tipo de software
[5].
FRACTALES: Voz inventada por
el matemático francés B. Mandelbrot en 1975. Son figuras
planas o espaciales, compuestas de infinitos elementos, que tienen la
propiedad de no cambiar su aspecto y distribución estadística
cualquiera que sea la escala con que se observen [6]. En el sitio creado
por Cynthia Lanius (http://math.rice.edu/~lanius/frac/)
se pueden explorar ejemplos de fractales, actividades e instrucciones.
Las actividades ilustran la iteración y autosimilitud característica
de estas figuras; por ejemplo, en el “Triángulo Sierpinski”
(figura 1) los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero
están conectados con tres líneas, formando cuatro triángulos
similares al original y creando un patrón de menor tamaño
compuesto por triángulos más pequeños.
Figura 1: Triángulo
Sierpinski
REPRESENTACIONES TRIDIMENSIONALES:
Los computadores hacen posible la creación de imágenes
interactivas de objetos tridimensionales que se pueden rotar y cambiar
de posición para facilitar su estudio. En el sitio creado por
George W. Hart (http://www.georgehart.com/)
hay una colección de poliedros virtuales que se pueden manipular.
Estas imágenes tridimensionales están construidas con
VRML (Virtual Reality Modeling Language) y para visualizarlas en el
computador, se debe instalar un programa que soporte archivos del tipo
“.wrl”. Hay una lista muy completa de fabricantes de estos
programas en la dirección: http://www.web3d.org/vrml/browpi.htm
Uno de ellos es “Alice”, creado por la Universidad Carnegie
Mellon el cual se puede descargar gratuitamente: http://wonderland.hcii.cs.cmu.edu/downloads/plugin/
Con JavaSketchpad DR3 Gallery (http://www.keypress.com/sketchpad/java_gsp/gallery.html)
los estudiantes pueden explorar 16 actividades, la mayoría forman
figuras tridimensionales tales como un “hipercubo” totalmente
manipulable.
JUEGOS DE COMPUTADOR: Un estudio
realizado en el Reino Unido [7] concluye que los juegos de simulación
y aventura desarrollan el pensamiento estratégico y las habilidades
de planificación de los estudiantes. En estos juegos de computador
los estudiantes deben tomar decisiones, modificar condiciones, reaccionar
ante situaciones o prever ciertas circunstancias. El juego Sim City
(http://simcity.ea.com/)
permite a los estudiantes crear ciudades virtuales sobre las cuales
ellos tienen el control. Tal como el alcalde de su ciudad, ellos aprenden
qué condiciones (acueducto y alcantarillado, redes eléctricas,
vías de transporte, áreas residenciales, industriales
y comerciales, servicios de vigilancia y seguridad, educación,
salud, cultura, recreación, etc) inciden en el éxito de
una ciudad. Con este juego, en el que se deben administrar fondos municipales,
se aprende a realizar y ejecutar presupuestos, a recaudar ingresos por
impuestos, a direccionar estos ingresos, a ahorrar y a planificar, entre
otras cosas. Para obtener resultados positivos, los estudiantes deben
ser persistentes y consistentes en sus acciones a lo largo del juego.
Los Sims (http://thesims.ea.com/us/index.html)
es otro juego de este tipo. En él, los estudiantes crean a los
habitantes de un vecindario y deben manejar sus relaciones interpersonales
y laborales; satisfacer sus necesidades educativas, fisiológicas
y emocionales; y crear condiciones ambientales propicias para que los
personajes logren su pleno desarrollo. Todas estas variables semejantes
a la realidad deben ser administradas por ellos. Zoo Tycoon
(http://www.microsoft.com/games/zootycoon/)
reta a los estudiantes a crear un zoológico virtual en el cual
deben tener en cuenta el hábitat, la alimentación y los
cuidados requeridos para cada uno de los animales exhibidos. También
deben planear las instalaciones y el personal necesario para que el
zoológico funcione apropiadamente. La serie Tycoon incluye juegos
que simulan modelos reales de parques de atracciones, trenes, campos
de golf, aeropuertos, restaurantes, etc.
ROBÓTICA: Como última
categoría tenemos la Robótica que, aunque no es virtual,
tiene un alto componente tecnológico. Esta da “vida”
a la física, las matemáticas y la programación
de computadores en forma táctil. Los Robots facilitan el aprendizaje
de conceptos de razonamiento mecánico (física aplicada),
promueven el espíritu creativo y desarrollan el trabajo colaborativo
del estudiante. Este tipo de manipulables tienen la virtud de comprometer
al estudiante en procesos de exploración, construcción
de máquinas, prueba de hipótesis, realización de
cambios y corrección de programas [8]. Materiales como los de
Lego MindStorms (http://mindstorms.lego.com)
permiten al estudiante, mediante logros sucesivos y escalonados, llegar
a responder preguntas complejas o a construir teorías.
[5] “Cognición y
Computación: el caso de la Geometría y la Visualización”,
Luis Moreno Armella, Cinvestav – IPN, México. Artículo
publicado como parte de las memorias del Seminario Nacional de Formación
de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas”,
Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2002.
[6] Definición tomada del
Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia Española.
Hartshorn, Robert and Boren,
Sue (1990); Artículo “Aprendizaje Experimental de las
Matemáticas: Uso de Manipulables” (en inglés),
[consultado en línea, Octubre 8 de 2003]. http://www.ericfacility.net/ericdigests/ed321967.html
Teachers Evaluating Educational
Multimedia (TEEM); Investigación “Los Juegos de Computador
en la Educación” (en inglés), [consulta en línea,
Octubre 9 de 2003]. http://www.teem.org.uk/resources
AVISO IMPORTANTE:
Este documento puede ser descargado, copiado e impreso solo para fines
no comerciales.
En todo caso se debe citar a EDUTEKA y a los autores originales de los
artículos. Ver
Politicas de Uso.
La FGPU presenta un Modelo propio para desarrollar la Competencia para Manejar Información (CMI) y una Metodología para aplicarlo. Esto, luego de haber llevado a la práctica en varias instituciones educativas, diversos Modelos para resolver problemas de información.
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