Funciones más complicadas:
Introducción a las  funciones lineales

 

Resumen
Los estudiantes aprenderán sobre  funciones compuestas por dos operaciones, en especial sobre funciones lineales y sus representaciones, tales como reglas y tablas de datos, incluyendo las nociones matemáticas de variables independientes y dependientes.

Objetivos
Al terminar esta lección, los estudiantes habrán:

  • Conocido  los fundamentos de las funciones.
  • Aprendido la terminología utilizada en las funciones lineales.
  • Practicado con la descripción de funciones lineales mediante frases, tablas de datos y expresiones algebraicas simples.

Estándares
Las actividades y las discusiones de esta lección consultan los siguientes  estándares del CNMM:

Álgebra
Entender patrones, relaciones y funciones.

  • Representar, analizar, y generalizar una variedad de patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando sea posible,  con reglas simbólicas.

  • Relacionar y comparar diferentes formas de representación de una relación.   

  • Identificar funciones como lineales o no lineales y contrastar sus propiedades mediante tablas, gráficos o ecuaciones.

Representar y analizar situaciones matemáticas y estructuras,  mediante símbolos algebraicos.

  • Desarrollar una  comprensión conceptual  sobre  diferentes usos de variables.

  • Explorar  relaciones entre expresiones simbólicas y gráficos de rectas, prestando particular atención a los significados de intercepto y de pendiente.

  • Usar álgebra simbólica  para representar situaciones y para resolver problemas, en especial los que involucran relaciones lineales.

  • Reconocer y generar formas equivalentes de expresiones algebraicas sencillas y resolver ecuaciones lineales.

Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.
  • Desarrollar y resolver modelos para problemas, usando diferentes representaciones, como gráficos, tablas y ecuaciones.
Analizar el cambio en varios contextos.
  • Usar  gráficos para analizar la naturaleza de los cambios en cantidades relacionadas linealmente.  
Prerrequisitos para los estudiantes
  • Aritmética: Los estudiantes deben ser capaces de:

    • Manejar  aritmética de enteros y fracciones.

  • Algebra: Los estudiantes deben ser capaces de:

    • Trabajar con funciones simples de una operación.

  • Tecnológica: Los estudiantes deben ser capaces de:

    • Hacer con el ratón del computador  operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar.

    • Utilizar navegadores,  como Netscape por ejemplo,  para experimentar con las actividades. 

Preparación del maestro
Los estudiantes necesitarán:

Términos importantes
Esta lección presenta los siguientes términos,  a través de discusiones:

Bosquejo de la lección

Esta lección asume que el estudiante está ya familiarizado con el material de la lección  Introducción a las funciones. Estas actividades pueden ser desarrolladas individualmente o en grupos de hasta  cuatro estudiantes. Debe presupuestar entre dos y tres horas de clase para la totalidad de la lección, en caso de que  todos sus apartes sean desarrollados en horas de clase.

  1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que es  pertinente para este caso, aprendido en lecciones anteriores, y haga que los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección. 

      • ¿Quién se acuerda de lo que es una función?
      • ¿Puede alguien darme un ejemplo de lo que es una función?
      • ¿Puede alguien darme un ejemplo de lo que no es una función?
  1. Objetivos

Cuente a los estudiantes qué verán y aprenderán hoy. Dígales algo como:

    • Hoy aprenderemos más sobre funciones.
    • Utilizaremos el computador para aprender más sobre funciones, pero no prendan el computador hasta que yo lo indique.  Primero  quiero  mostrarles algo relacionado con esta actividad.
  1. Aportes del maestro
    • Desarrolle  una discusión sobre la construcción de  funciones más complicadas usando composición.

 

  1. Práctica guiada
    • Permita que los estudiantes practiquen manualmente con algunas de estas funciones más complicadas, llenando algunas tablas o cuadros. Deles unas funciones,  algunas como tablas y otras en forma algebraica. Solicíteles que escriban las funciones en todas las formas. Por ejemplo:
      1. Encuentre la función que suma uno y luego multiplica el resultado por dos.
      2. y = 4 - x/2
      3.  

x

-2

-1

0

1

2

y

-7

-4

-1

2

5

 

    •  Nota: La regla de la función para estas funciones más complicadas puede ser mucho más difícil de deducir de la tabla de datos.
    • Genere una discusión sobre funciones  de la forma especial  y = ___ * x + ___.
  1. Práctica independiente
    • Permita que los estudiantes practiquen sus habilidades con funciones lineales usando la actividad La máquina de función lineal. Asegúrese que los estudiantes lleven la cuenta de cuántos números necesitaron ver antes de encontrar la estructura de la función. Solicíteles que escriban las funciones con que trabajaron en tres formas:

      1. Con frases.

      2. Con una tabla de valores.

      3. Con una regla algebraica.

    • Guíelos para que piensen en situaciones de la vida real donde hayan estado presentes algunas de las funciones con las que trabajaron.

  1. Cierre
    • Es aconsejable reunir nuevamente a la clase para discutir los resultados.  Una vez que ellos hayan compartido sus experiencias, resuma los resultados de la lección.

Bosquejos alternativos
Esta lección se puede reorganizar de varias maneras:

  • Omita la información de funciones más complicadas y discuta solamente funciones de la forma     y = mx + b.

  • Organice un concurso  de “identifique la función”,  en donde grupos de estudiantes compitan para deducir  la función. Las siguientes pueden ser algunas de las reglas básicas del concurso:

    • Entregue dos pares de datos de entradas y de resultados a ambos equipos – se recomienda 2 estudiantes por equipo.

    • Solicite que  cada equipo diga cuántos números de pares adicionales cree que  necesita para  “identificar la función”.   El equipo que diga un número menor, sale de primero.

    • Si un equipo da un resultado equivocado, entonces el otro equipo tiene el turno, luego de ver un par de números adicionales.  Los equipos se alternaran hasta que alguno dé el resultado correcto.

Este juego se puede desarrollar en unos 10 minutos por cada par de equipos, lo cual haría el ejercicio muy largo si toda la clase va a participar. 

  • Introduzca  funciones no lineales más complicadas, permitiendo usar exponenciales (comenzando con números enteros) y la división por x.    
Seguimiento sugerido

Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes tendrán una comprensión intuitiva sobre funciones, y habrán visto varios ejemplos de funciones lineales. La siguiente lección, El plano de coordenadas  introducirá a los estudiantes a la graficación de puntos en el plano de coordenadas.


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