El triángulo de Pascal

Estudiante: Entonces usted dice que vamos a buscar fractales conocidos en el triángulo de Pascal.  ¿Qué es el triángulo de Pascal?

Maestro: Bueno, miremos un problema sencillo en el cual Pascal estaba interesado (en el siglo XVII).  Involucra probabilidad y azar, conceptos que Pascal ayudó a desarrollar. El problema es el siguiente:

¿Qué probabilidad hay de que en  una familia que tiene X hijos en total,  haya  Y hijas mujeres?

Miremos algunos valores posibles para X  y Y

 

Número total de hijos

Número de hijas mujeres

 

X = 0

Y = 0

La probabilidad es 1 de 1, porque si sabemos que no hay hijos, entonces no hay mujeres.  No hay que verificar Y=1, ni nada parecido, puesto que no pueden existir niñas en una familia sin hijos.

X = 1

Y = 0

Si hay un hijo, puede ser hombre o mujer. Entonces las posibilidades son 1 de 2 de que sea mujer; e igual sucede para el hombre.

Y = 1

Igual que  el caso anterior: un hijo, una mujer: 1 de 2.  No tenemos que verificar Y=2, o  un número superior, pues eso no puede suceder.

X = 2

Y = 0

¡Ahora se pone más interesante! Con 2 hijos podemos tener 2 hombres  (o sea 0 mujeres), 1 mujer mayor y 1 hombre menor, 1 hombre mayor y 1 mujer menor o 2 mujeres.
Todas las posibilidades se pueden representar así: HH, MH, HM, MM. Entonces podemos concluir que la probabilidad de que no haya mujeres (Y = 0) es 1 de 4.

Y = 1

Resumimos la situación arriba: Una mujer aparece en la representación  2 veces, y son 4 representaciones: 2 de cada 4.

Y = 2

Nuevamente, observemos los casos arriba.  Dos mujeres se dan en 1 de cada 4 veces. Con esto finalizamos el análisis para familias de 2 hijos, puesto que Y=3 sería imposible.

Bien, entonces veamos, ¿qué aprendimos de la tabla anterior?

Estudiante: Parecería que necesitamos mirar todas las posibilidades en que los hijos pueden componer una familia,  para así poder responder.

Maestro:   ¡Muy bien!  ¿Me puede mostrar qué pasa con 3 hijos?

Estudiante: Veamos, ¿en qué forma se pueden tener 3 hijos?

HHH   MHH   MMH   MMM

HMH   MHM

HHM   HMM

Entonces: ninguna mujer, se presenta 1 vez;  una mujer, 3 veces; dos mujeres, 3 veces;  y tres mujeres, 1 vez.

Maestro: ¡Bien! Coloquemos estos números en una tabla, cuya lectura sea: el número de la fila indica el número de hijos y el número de la columna indica el número de mujeres. Las respuestas imposibles se dejan en blanco.

 

 

0

1

2

3

4

5

0

1

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

1

2

1

 

 

 

3

1

3

3

1

 

 

4

1

4

6

4

1

 

5

1

5

10

10

5

1

Estudiante: ¿Cada número en esta tabla representa las combinaciones posibles en que se pueden tener varias hijas mujeres? Entonces ¿el segundo 10 en la fila 5 significa que hay 10 combinaciones diferentes para tener tres niñas entre 5 hijos? 

Maestro: Si,  ¿puede encontrar todas estas combinaciones?

Estudiante: Veamos:

MMMHH  MMHMH  MMHHM  MHMMH  MHMHM

MHHMM  HMMMH  HMHMM  HMMHM  HMMMH

Maestro: ¡Muy Bien! Ahora, me puede decir, sin escribir las combinaciones, ¿cómo sería la fila 6?  Le hago una sugerencia.  Escriba nuevamente la tabla en forma de triángulo, y fíjese cómo cada número se relaciona con los dos que tiene arriba.

1
1       1
1       2       1
1       3       3       1
1       4       6       4       1
1       5       10      10      5       1
 

Estudiante: ¡Estupendo!  La fila siguiente debería ser 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1;  simplemente se suman los dos números  de arriba.

Maestro: Exactamente. Este es el Triángulo de Pascal. En realidad lo deberíamos llamar el triángulo de  Zhu Shijie, un matemático chino del siglo catorce, quien lo descubrió 300 años antes que Pascal.
Hay más patrones numéricos interesantes en este triángulo. Ensaye las actividades  Colorear múltiplos y Colorear residuos.

Estudiante: ¿Entonces el triángulo de Pascal se usa para calcular la probabilidad de tener un determinado número de hijas mujeres en una familia?

Maestro: Esa es solo una de las muchas aplicaciones.

  • En combinatoria y conteo  podemos usar estos números cuando necesitemos conocer el número de veces en que podemos escoger Y cosas en un grupo de X cosas. Por ejemplo, si necesitamos escoger 3 personas para que trabajen juntas en un problema, y tenemos 5 candidatos, existen “3 de 5” o sea 10 maneras diferentes de hacerlo. En el triángulo esto es la 5 fila, la tercera entrada.  Esta es la misma idea que en el problema del “número de hijas en una familia”.
  • En álgebra podemos usar estos números para encontrar el resultado de elevar un binomio a un determinado exponente. Supongamos que tenemos (A+B) elevado a la 5ta potencia. ¿Cómo lo hacemos? Debemos recordar que el exponente a la 5ta potencia es una multiplicación repetida,  luego debemos encontrar

(A + B)(A + B)(A + B)(A + B)(A + B)

Esto sería muy difícil de hacer, debido a que tendríamos que usar la propiedad distributiva una y otra vez. Sin embargo, Pascal nos mostró cómo su triángulo nos da los números requeridos para esta multiplicación.  El exponente es 5, luego mire la fila 5 para obtener:

1


Observe que los coeficientes de este resultado (ese es el término matemático para el número frente a las letras en la expresión) son los números de la fila 5 en el  triángulo. Así que escribimos la combinación exponencial en orden (piense en el problema del “número de niñas”) todas las A (no las B), 4 A (1 B),  tres A, etcétera,  hasta llegar a cero A y luego utilizar la tabla de coeficientes.



 

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