Rectas paralelas

Maestro: Hoy profundizaremos más sobre ángulos. Conoceremos nombres para algunos tipos de ángulos y aprenderemos a determinar la medida en grados, de  ángulos en determinadas situaciones.

Estudiante:   ¿Entonces aprenderemos más cosas como ángulos agudos y obtusos?

Maestro: Correcto. Empezaremos con los ángulos suplementarios.  ¿Tienen alguna idea de lo que son ángulos suplementarios?

Estudiante: ¿Son ángulos con más de 180 grados?

Maestro: No, pero es una buena aproximación.  Los ángulos suplementarios son ángulos que suman 180 grados, de tal forma que si se ponen todos untos formarían una línea recta en la base.

Estudiante: ¿Entonces dos ángulos rectos serían suplementarios?

Maestro:   Muy bien, ¿se le ocurre otro ejemplo?

Estudiante: A ver....un ángulo de 100 grados y otro de 80 grados.

Maestro: Bien, parece que captó la idea.  Otros ángulos sobre los que aprenderemos hoy son los ángulos complementarios.  ¿Qué piensa que son estos ángulos?

Estudiante:   ¿Ángulos que suman 360 grados?
Maestro: No, son ángulos que suman 90 grados.  Mencione algunos ángulos complementarios.

Estudiante: Por ejemplo 45  y 45, 30 y 30 y 30…

Maestro:   Correcto. Parece que también agarró esta idea. Hablemos ahora de ángulos opuestos por el vértice.  ¿Tiene idea de lo que son estos ángulos?

Estudiante:  ¿Son ángulos que tienen un mismo vértice y quedan como a diferente lado?

Maestro: Sí. Es una descripción muy cercana.  Los ángulos opuestos por el vértice están formados por el mismo par de rectas, de manera que un ángulo es un lado de la intersección y el otro ángulo es el otro lado.  En la siguiente imagen, los ángulos a y d son opuestos por el vértice y los ángulos b y c son opuestos por el vértice. También lo son e y h, y f y g. ¿Puede adivinar cuál es la relación entre dos ángulos si sabemos que son opuestos por el vértice?

                                   Imagen1

Estudiante:   ¡Que son iguales!

Maestro: Bien; pero cuando se trata de ángulos, los llamamos congruentes. ¿Puede decirme por qué son congruentes?

Estudiante:   Bueno, parece como si fueran iguales.

Maestro: Es verdad. Pero a no ser que se trate de un estimativo, en matemáticas uno tiene que probar lo que cree.  ¿Cómo probaría  que  los ángulos opuestos por el vértice son congruentes?

Estudiante: Pues no sé, pero sería contrario a la intuición si no lo fueran.

Maestro: Si, pero  pensemos en algo más concreto.  A ver si lo puedo ubicar en la dirección correcta: ¿Qué me puede decir sobre los ángulos a y b en la imagen de arriba?

Estudiante:   A ver...¡son ángulos suplementarios!

Maestro:   Bien, ahora ¿qué me puede decir sobre los ángulos b y d?

Estudiante: ¡También son suplementarios!

Maestro: Entonces dígame lo que sabemos sobre los ángulos a, b y d.

Estudiante: Bueno pues que  a+b=180o y que  b+d=180o.

Maestro:  Si sabemos que a+b y b+d  son iguales a una misma cantidad, ¿qué podemos decir sobre ellos?  

Estudiante: Pues creo que a+b=b+d

Maestro: ¡Exactamente!  Ahora dígame, ¿conoce la propiedad cancelativa de la suma?

Estudiante: No, ¿de qué se trata?

Maestro: La propiedad cancelativa dice que si a+b=b+c entonces a=c.  ¿Entiende por qué?

Estudiante: ¡Sí!  Es como si tuviera 10 manzanas, y quitara dos de cada lado: aún tendría 8 en cada lado.

Maestro:   Correcto. Si uno tiene x número de manzanas en cada lado y les quita y, los dos lados tendrán x-y.  Esto se puede resolver también utilizando álgebra muy elemental pues a+b=b+c, le resto b a ambos lados y tenemos que a=c.  Entonces, ya que conocemos la propiedad cancelativa, ¿qué me puede decir sobre los ángulos opuestos por el vértice con los que estamos trabajando?

Estudiante:   Bueno, sabíamos que a+b=b+d, ¡entonces a debe ser igual a d!

Maestro: ¡Estupendo!  Entonces podemos ver que conociendo una simple regla sobre los ángulos suplementarios y usando la propiedad cancelativa pudimos descubrir otra regla.  Observe qué tanto podemos descubrir basándonos simplemente en una regla y en la lógica.

Estudiante: ¿Toda la geometría es así?

Maestro:  No todos los problemas son de esta clase. Pero casi toda la geometría está estrechamente interconectada,  y se origina en unas cuantas reglas sencillas.

Estudiante: ¡Estupendo!

Maestro: A partir de ahora, y por el día de hoy, trabajaremos con el siguiente diagrama.  Lo primero que debemos saber sobre este diagrama es que las rectas q y r son paralelas.  ¿Me puede decir qué son rectas paralelas?

Imagn2

Estudiante:   ¿Son rectas que no se cortan?

Maestro: No exactamente.  Existen también rectas, llamadas rectas cruzadas o rectas que se cruzan,  que no se cortan.  Una de ellas puede ser la que va de izquierda a derecha en un plano y otra la que va de arriba a abajo en un plano diferente.  ¿Puede revisar su definición de rectas paralelas de tal manera que se excluyan las rectas que se cruzan?

Estudiante: Entonces, ¿son rectas de mismo plano que no se cortan?

Maestro:   Bien. Otra cosa importante que debemos saber sobre las rectas paralelas es que ellas tienen la misma pendiente.  La recta que corta las rectas paralelas se llama transversal o secante  Revisemos entonces lo que ya sabemos: ¿Qué son los ángulos e y f entre sí?

Estudiante:   Ángulos suplementarios.

Maestro:   ¿Qué quiere decir ángulos suplementarios?

Estudiante: Que suman 180 grados.

Maestro:   Muy bien, Ahora, ¿qué son los ángulos f y g?

Estudiante:   Son ángulos opuestos por el vértice. Entonces son congruentes. 

Maestro: ¡Muy bien!  Ahora vamos a aprender sobre ángulos correspondientes.  Los ángulos correspondientes son ángulos que están en la misma ubicación en relación con la recta paralela más cercana.  ¿Me puede dar un ejemplo de ángulos correspondientes?

Estudiante: ¿Los ángulos a y e?

Maestro: Muy bien, los ángulos c y g, b y f, y d y h son también pares de ángulos correspondientes.  ¿Puede adivinar cómo son los ángulos correspondientes entre sí?

Estudiante: ¡Son congruentes!

Maestro: Bien, y me puede decir ¿por qué son congruentes?

Estudiante:    No sé, simplemente parecen congruentes. 

Maestro: Recuerde que en matemáticas eso no es suficiente; tiene que probarlo. ¿Le parece correcto afirmar que si tiene dos conjuntos de rectas, y cada recta de uno de los conjuntos tiene la misma pendiente que cada recta del otro conjunto, entonces cada conjunto tendría los mismos ángulos?

Estudiante: Probablemente.

Maestro: Trate de imaginarlo: tome una recta fija y deslice otra paralelamente a sí misma hacia arriba y hacia abajo ¿Se forman  los mismos ángulos con la recta fija verdad?

Estudiante: ¡Sí!

Maestro: Entonces, si sabemos eso, ¿puede ahora probar por qué los ángulos correspondientes son congruentes?

Estudiante:   ¡Sí!  Puesto que q y r son paralelas ellas tienen la misma pendiente, y como s es solo una recta, entonces tiene la misma pendiente, por eso los ángulos siempre serán congruentes entre las dos rectas paralelas.

Mentor:   Muy bien,  ya sabemos que los ángulos correspondientes son congruentes.  Ahora vamos a ángulos colaterales(al mismo lado) internos y a ángulos alternos internos.  ¿Puede indicar un par de ángulos colaterales internos?

Estudiante: ¿Qué tal d y f?

Maestro:   Bien.  Ahora ¿me puede decir qué relación guardan estos ángulos?

Estudiante: ¿Son también ángulos congruentes?

Maestro: No. Veamos  por qué no lo son,  y qué relación hay entre ellos.  ¿Recuerda mi afirmación de que utilizaríamos las mismas reglas básicas?  Lo haremos nuevamente.

Estudiante:   De acuerdo. Entonces, ¿cómo empezamos?

Maestro:   Veamos, ¿cuál es el opuesto por el vértice del ángulo d?

Estudiante: El ángulo a

Maestro: Bien, entonces ¿Cómo son los ángulos d y  a?

Estudiante:   Son congruentes: d=a.

Maestro:   Bien, ahora ¿cómo es el ángulo a en relación con el ángulo e?

Estudiante: Son ángulos correspondientes; entonces a=e.

Maestro: Bien, entonces sabemos que d=a y que e=a, ¿qué nueva información podemos obtener de ahí?

Estudiante: ¡d=e!

Maestro: Correcto, porque recordemos que si los dos son congruentes con un tercer ángulo, entonces deben ser lo mismo.

Estudiante: ¡También sabemos que e es el suplemento de f!

Maestro: Muy bien. Empecemos nuevamente:  dígame qué son d y f para el otro.

Estudiante: ¿Deberían ser suplementarios, verdad?

Maestro:    Bien, Entonces, si d fuera 110, ¿qué sería f?

Estudiante: A ver...¡70!

Maestro:  Bien, ¿me puede decir ahora otro conjunto de “Ángulos colaterales internos”?

Estudiante:    ¿c y e?

Maestro:   Correcto. Vamos ahora a  los ángulos internos alternos, ¿me puede decir un grupo de esos? 

Estudiante: ¿Qué tal g y d?

Maestro: No, porque estoy hablando de ángulos alternos internos, y g está en el exterior.

Estudiante: ¿Entonces serían d y e?

Maestro: Bien.  Veamos ahora si puede descubrir la relación entre d y e.

Estudiante:   Veamos, a es el opuesto por el vértice al ángulo  d. Entonces a=d?

Maestro:   Correcto.  ¿cuál es el siguiente paso?

Estudiante: Bueno, como a es el ángulo correspondiente de e, entonces a=e.

Maestro: Muy bien, ahora una la información.

Estudiante: Bueno si a=d, y a=e, entonces d=e.

Maestro: Muy bien, fíjese que no me necesita, pues utilizando la lógica y la regla básica de ángulos suplementarios, ¡usted lo puede deducir solo!  Nunca se preocupe si se olvida de estas reglas,  porque siempre las puede deducir.

Estudiante:   ¡Estupendo!  Porque si alguna vez olvido algo, siempre puedo volver al inicio para deducirlo.

Maestro: Eso es lo mejor de la geometría.  ¡Ahora practiquemos un poco y dígame qué es cada uno con relación al otro, y por qué.  Empecemos con b y g.

Estudiante: ¡Pero esas no son ninguna de las reglas que conocemos!

Maestro: Eso es cierto. Pero recuerde, se trata únicamente de reglas básicas, cuyos nombres no sabe todavía; sin embargo ya sabe cómo usarlas.

Estudiante: Bueno, veamos, entonces b=c por ser ángulos opuestos por el vértice, y c=g por ser ángulos correspondientes, ¡entonces b=g!

Maestro: ¿Lo ve? ¡Pensándolo simplemente, y deduciéndolo, y no dependiendo de reglas memorizadas, se puede encontrar cualquier cosa!  Ahora ensayemos con h y c.

Estudiante:   ¡De acuerdo!  Entonces  h=e por ser opuestos por el vértice. Además c es suplementario a e por ser colaterales internos.  Por lo tanto, h es suplementario a c

Maestro: Muy bien. Entonces, recuerde siempre  no desesperarse si no conoce una relación particular,  pues siempre la puede deducir.  Una buena forma de hacer esto es practicar con la actividad Ángulos.

Estudiante :  ¡Increíble, nunca pensé que la geometría fuera tan divertida!



 

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