Fractales de figuras planas

Estudiante: Entonces fractales como el Triángulo de Sierpinski y el Tapete de Sierpinski tienen recurrencia, porque tienen un iniciador y un generador.  ¿Es esto lo que constituye un fractal?

Maestro: Es apenas  una parte. ¿Recuerda qué otras cosas hemos discutido?

Estudiante: Bueno está también la auto-similaridad.

Maestro: Muy bien. Reflexionemos también sobre lo siguiente:

• En la Curva de Hilbert una curva infinita ocupaba una cantidad finita de espacio.
• En el Copo de nieve de  Koch un borde infinito contenía  un espacio finito.
• En el Triángulo de Sierpinski y en el Tapete de Sierpinski el área de la figura final  fue 0 y sin embargo aun podíamos verla.

Estudiante: Todas estas parecen ser  afirmaciones contradictorias.

Maestro: Es por esto que infinito fue un concepto tan difícil de entender por mucho tiempo,  y hay  todavía muchos  debates sobre el tema.

Estudiante: Bueno, ya he visto cantidades de fractales.  Pero ¿qué hace que un fractal sea un fractal?

Maestro: Enumeremos  las propiedades comunes a todos ellos:

• Todos se construyeron empezando por un “iniciador” e “iterando” mediante un “generador”. Es decir, usamos recursión.
• Algún aspecto del objeto final fue infinito (longitud, perímetro, área de la superficie).  Muchos de los objetos se “arrugaron”.
• Algún aspecto del objeto final permaneció finito  o 0 (área, volumen, etc.)
• En cualquier iteración, una parte del objeto es una reproducción a menor escala, pero constituye copia idéntica de la iteración anterior (auto-similaridad).

Maestro: Estas son las características que Benoit Mandelbrot, inventor del término,  asignó a los Fractales regulares en el año de  1975.