Dimensión y escala
Estudiante: Yo se qué son las dimensiones:
- Los puntos tienen dimensión 0.
- Las rectas tienen dimensión 1.
- Las figuras planas tienen dimensión 2.
- Los volúmenes sólidos, como los cubos, tienen dimensión 3.ñ
Maestro: ¡Muy bien! ¿Qué podemos aprender de estas afirmaciones? Comencemos con una recta, pues los puntos no son tan interesantes en los fractales.
Las rectas tienen longitud, pero carecen de ancho y altura, así que solo las podemos medir en una dimensión. Por esto decimos:
La dimensión euclidiana de una recta es 1.
Considere el siguiente segmento de recta:
Ahora construyamos segmentos de recta similares, pero de menor escala. Utilizaremos un factor de escala 4 (el segmento de recta mayor es 4 veces más largo que los más pequeños)
Nótese que podemos obtenemos 4 segmentos de recta “auto-similares” del segmento original con este factor de escala. Entonces Dimensión = 1, Escala = 4 y Número de objetos auto-similares = 4
Haga este ejercicio con un cuadrado, que es una figura plana.
Estudiante: Bueno, la dimensión euclidiana de un cuadrado es 2 porque podemos medir el largo y la altura, pero no tiene ancho. Considere el siguiente cuadrado:
Ahora construyamos cuadrados similares a una escala menor. Utilicemos el factor 3 (El lado del cuadrado grande es 3 veces más largo que el de los más pequeños).
Nótese que podemos obtenemos 9 cuadrados “auto-similares” del cuadrado original con este factor de escala. Entonces Dimensión = 2, Escala = 3 y Número de objetos auto-similares = 9
Maestro: Desarrollemos juntos un cubo (sólido): La dimensión euclidiana de un cubo es 3, ya que podemos medir el largo, el ancho y la altura. Considere el siguiente cubo:
Ahora construyamos cubos similares a una escala menor. Usaremos el factor 2 (el lado del cubo grande es 2 veces más largo que el de los pequeños)
Nótese que podemos obtenemos 8 cubos “auto-similares” del cubo original con este factor de escala. Entonces Dimensión = 3, Escala = 2 y Número de objetos auto-similares = 8.
Maestro: ¿Qué patrón ve usted aquí?
Estudiante: La dimensión, la escala y el número de copias parecen seguir el patrón:
donde S es la escala, D la dimensión y N el número de objeto auto-similares, o copias.
Maestro: ¡Muy bien! ¡Los fractales son objetos que tienen dimensiones fraccionadas! Para ver esto tenemos que aprender a hallar D, cuando conocemos S y N, lo cual no es fácil dado que D está en el exponente. Tenemos que hablar entonces sobre Exponentes y logaritmos.
