Preguntas de exploración sobre el Peine de Cantor
El Peine de Cantor es una manera de visualizar el famoso conjunto de Cantor. George Cantor estaba interesado en este conjunto porque es infinito y completamente disconexo (todos sus puntos están separados entre sí), aun cuando se construye mediante segmentos de recta. En términos fractales nos referimos a estos conjuntos no conexos como las "basuras fractales"
Instrucciones: Dibuje varias iteraciones del Peine de Cantor (removiendo el tercio del medio cada vez) y completando la siguiente tabla:
El Peine de Cantor de los Tercios Medios
Iteración |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Longitud de un segmento de recta |
|||||
Longitud Total |
Responda las siguientes preguntas:
- ¿Cuál será la longitud total del segmento de recta en la N-sima iteración? Observe los patrones que forman los números antes y después de simplificar.
- ¿Cuál será la longitud total en la N-sima iteración?
- ¿Cómo cree que será la forma del Peine de Cantor? En otras palabras, ¿qué espera que suceda si se repite esto en un número infinito de veces?
- ¿Cuál es la longitud del Peine de Cantor?
Ensaye ahora otras fracciones: ensaye a remover ½ de la mitad y ¼ de la mitad, completando las siguientes tablas:
El Peine de Cantor de la Mitad de los Medios
Iteración |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Longitud de un segmento de recta |
|||||
Longitud Total |
El Peine de Cantor de Cuartos Medios
Iteración |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Longitud de un segmento de recta |
|||||
Longitud Total |
Compare los resultados de estos ejercicios. Ensaye algunas fracciones de su elección y haga un listado de sus conclusiones. Por ejemplo, ¿puede usted construir una fórmula para la longitud total en la n-sima iteración, que funcione para cualquier fracción que sea de la forma 1/X?
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